Warum brauche ich die eigentlich?
Binomischen Formeln – so seltsam ihr Name auch klingt – können das Leben extrem erleichtern. Zumindest in der Mathematik.
Wenn ich zum Beispiel einen Term sehe, in dem hinten und vorne ein Quadrat steht, z.B. x2 – 4, also x2 – 22, sollte es bei mir klingeln. Dann kann ich prüfen, ob ich diesen Term gemäß der Binomischen Formeln umformen kann. Bei diesem Fall in (x – 2)*(x + 2).
Das geht dir zu schnell? Dann schau dir das folgende Video an oder lies unten im Text weiter.
1. Binomische Formel
(a+b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel
(a-b)² = a² – 2ab + b²
3. Binomische Formel
(a+b)(a-b) = a² – b²
Die 1. Binomische Formel
Die 1. Binomische Formel lautet:
(a+b)2 = (a+b)*(a+b)
Diese Formel können wir nun ausmultiplizieren. Dafür sollten wir uns an das Distributivgesetz zurückerinnern. Das sagt uns dann folgendes:
(a+b)*(a+b)
= a*(a+b) + b*(a+b)
= a*a + a*b + b*a + b*b
Nun können wir noch a*a zu a2 und b*b zu b² zusammenfassen und schließlich noch – Kommutativgesetz sei Dank – a und b vertauschen.
Vereinfacht sieht das dann also so aus:
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab+ b²
Der geometrische Beweis
Das links ist nicht irgendein Quadrat. Es ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b! Und somit hat es die Fläche (a+b)² (Wir erinnern uns: die Fläche eines Quadrats ist seine Seitenlänge zum Quadrat).
Und wie man bei genauerem Hingucken erkennen kann, lässt sich diese Fläche aufteilen in ein Quadrat der Fläche a², eines der Fläche b² und zwei kleine Rechtecke mit der Fläche a*b. Insgesamt also a² +2ab +b².
Das ist also der geometrische Beweis dafür, dass unsere erste Rechnung der 1. Binomischen Formel stimmt!
Die 2. Binomische Formel
Die 2. Binomische Formel lautet:
(a-b)2 = (a-b)*(a-b)
Diese Formel können wir nun wieder ausmultiplizieren.
(a-b)*(a-b)
= a*a – a*b – b*a + (-b)*(-b)
Merke: Minus mal Minus gibt Plus!
Jetzt können wir das wieder vereinfachen: a*a wird zu a2 und b*b zu b² zusammenfassen, – a*b – b*a werden zu -2ab und (-b)*(-b) wird zu b²!
Dann bekommen wir:
(a-b)² = a² – 2ab – b²
Warum brauche ich die eigentlich?
Binomischen Formeln – so seltsam ihr Name auch klingt – können das Leben extrem erleichtern. Zumindest in der Mathematik.
Wenn ich zum Beispiel einen Term sehe, in dem hinten und vorne ein Quadrat steht, z.B. x2 – 4, also x2 – 22, sollte es bei mir klingeln. Dann kann ich prüfen, ob ich diesen Term gemäß der Binomischen Formeln umformen kann. Bei diesem Fall in (x – 2)*(x + 2).
Das geht dir zu schnell? Dann schau dir das folgende Video an oder lies unten im Text weiter.
1. Binomische Formel
(a+b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel
(a-b)² = a² – 2ab + b²
3. Binomische Formel
(a+b)(a-b) = a² – b²
Die 1. Binomische Formel
Die 1. Binomische Formel lautet:
(a+b)2 = (a+b)*(a+b)
Diese Formel können wir nun ausmultiplizieren. Dafür sollten wir uns an das Distributivgesetz zurückerinnern. Das sagt uns dann folgendes:
(a+b)*(a+b)
= a*(a+b) + b*(a+b)
= a*a + a*b + b*a + b*b
Nun können wir noch a*a zu a2 und b*b zu b² zusammenfassen und schließlich noch – Kommutativgesetz sei Dank – a und b vertauschen.
Vereinfacht sieht das dann also so aus:
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab+ b²
Der geometrische Beweis
Das links ist nicht irgendein Quadrat. Es ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b! Und somit hat es die Fläche (a+b)² (Wir erinnern uns: die Fläche eines Quadrats ist seine Seitenlänge zum Quadrat).
Und wie man bei genauerem Hingucken erkennen kann, lässt sich diese Fläche aufteilen in ein Quadrat der Fläche a², eines der Fläche b² und zwei kleine Rechtecke mit der Fläche a*b. Insgesamt also a² +2ab +b².
Das ist also der geometrische Beweis dafür, dass unsere erste Rechnung der 1. Binomischen Formel stimmt!
Die 2. Binomische Formel
Die 2. Binomische Formel lautet:
(a-b)2 = (a-b)*(a-b)
Diese Formel können wir nun wieder ausmultiplizieren.
(a-b)*(a-b)
= a*a – a*b – b*a + (-b)*(-b)
Merke: Minus mal Minus gibt Plus!
Jetzt können wir das wieder vereinfachen: a*a wird zu a2 und b*b zu b² zusammenfassen, – a*b – b*a werden zu -2ab und (-b)*(-b) wird zu b²!
Dann bekommen wir:
(a-b)² = a² – 2ab – b²
Das Video ist super! Vielen Dank an Vroni!
Juhu, endlich ab ich’s auch verstanden, danke!
Das freut uns, liebe Christiane! 🙂